Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一點，DC=1cm．P、Q是直線CB上的兩個動點，點P從C點出發，以1cm/s的速度沿直線CB向右運動，同時，點Q從D點出發，以2cm/s的速度沿直線CB向右運動，以PQ為一邊在CB的上方作等邊三角形PQR，如圖是其運動過程中的某一位置．設運動的時間是t（s）．
（1）△PQR的邊長是______cm（用含有t的代數式表示）；當t=______時，點R落在AB上．
（2）若等邊△PQR與△ABC重疊部分的面積為y（cm²），求y與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）在P、Q移動的同時，以點A為圓心、tcm為半徑的⊙A也在不斷變化，請直接寫出⊙A與△PQR的三邊所在的直線相切時t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，直接將△PQR的三邊相加即可得出含t的表達式；易得△QRB為等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1，又QB=CB-CP-PQ，兩式聯立即有5-2t=t+1，解之即可得出t．
（2）易得重疊部分為一個小等邊三角形，依題意分別得出底邊及其對應的高即可得出重疊部分的面積．
（3）結合題意，可知有三種情況，①以點A為圓心、tcm為半徑的⊙A與PQ所在的直線相切，②⊙A與PQ所在的直線相切，③⊙A與RQ所在的直線相切；分別利用切線的性質以及勾股定理，即可得出各種情況對應的t值．
解答：解：（1）△PQR的邊長PQ=CQ-CP=（CD+DQ）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
∵當t為某值時，點R落在AB上，三角形RPQ是等邊三角形，
∴QB=QR=QP=t+1，∠RQD=60°，
∴∠RQB=120°，∠QRB=30°，
∴△QRB為等腰三角形，
∵QB=CB-CP-PQ=6-t-（t+1）=5-2t，
∴5-2t=t+1，
解得：t=s；


（2）分為四種情況：①當0≤t＜時，如圖1：重疊部分是△RPQ，
∵△RPQ的邊長為t+1，
∴高為（t+1）cm，
∴y=×（t+1）×（t+1）=（t+1）²；
②當≤t＜時，如圖2：重疊部分為四邊形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ為等邊三角形，
∴∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=（6-t），
∴MR=PR-PM=（t+1）-（6-t）=（3t-4），
∴MN=MR•tan60°=（3t-4），
∴y=（t+1）²-（3t-4）²
=-t²+t-
=-（t-2）²+；
③當≤t＜6時，如圖3：同理可得y=（6-t）²；
④當t≥6時，如圖4：此時y=0．

（3）（一）如圖a，
⊙A與RQ所在的直線相切時，切點為N，N在QR的延長線上，AB與NQ交于L點，
AN=t，得到AL=2t，
QB=5-2t，得到BL=（5-2t），
AB=4=BL-AL=（5-2t）-2t，
得到t=．
即t=．
如圖b，若NR交AB與E，
∵⊙A半徑=AN=t，則AE=2t，QE=QB=5-2t，BE=（5-2t），
AB=4=BE+AE=（5-2t）+2t，
∴t=，
（二）如圖c：
當⊙A與PQ所在的直線相切時，
∵AC⊥PQ所在的直線，
∴⊙A半徑=AC=t=2．
此時，若設AB與PR相交于M，
則AM=⊙A半徑=2，
∴BM=4-2=2，
∴∠PMB=90°，
∴⊙A 也同時與PR相切．

（三）如圖d：
⊙A與PR所在的直線相切時，切點為M，可知道點M在AB延長線上，
在Rt△PBM中，∠ABC=30°，有AM=t，BM=AM-AB=t-4，斜邊PB=CP-BC=t-6，
所以PB=BM，有（t-6）=t-4，
得到t=4+6；

綜上所述，當⊙A與QR所在的直線相切時，t=或t=，；
當⊙A與PQ所在的直線相切時，t=2；
當⊙A與PR所在的直線相切，t=2或者t=4+6．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，最后一問屬于開放性試題，主要考查的是切線性質的實際應用；本題是一道動態幾何題，綜合性較強，有一定的難度．