Question

探索研究
已知如圖，過O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點M（2m，0）、交y軸的負半軸于點D，弧OBM與⊙P的弧OAM關于x軸對稱，其中A、B、C是過點P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點．點A到x軸的距離為h，以B為頂點且過D的拋物線交⊙P于點E．
（1）填空：B的坐標為

（m，-h）

，C的坐標為

（m，h-10）

，D的坐標為

（0，2h-10）

；（可含m、h）
（2）當m=4時，
①求此拋物線的函數關系式并寫出點E的坐標；
②點Q在y軸上，且S_△CEQ=S_△CEP，求Q點坐標．
（3）是否存在實數m，使得以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可連接OP，PM，設AC與OM交于N，那么在直角三角形OPN中，ON=m，因此AN=BN=h，CN=AC-AN=10-h，所以B，C的坐標分別為（m，-h），（m，h-10），
同理過P作OD的垂線，根據垂徑定理即可得出OD=2PN=5-h，因此D點的坐標為（0，2h-10）；
（2）①可用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后將D點的坐標代入即可求出拋物線的解析式．根據圓和拋物線的對稱性可知：E點和D點關于拋物線的對稱軸x=4對稱，因此根據D的坐標即可求出E點的坐標．
②由①可知點E的坐標為（8，-6），所以可求出過CE的直線解析式，進而求出直線和x軸的交點坐標R，當S_△CEQ=S_△CEP則QR=PC，則可求出Q點坐標；
（3）如果以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形，那么這個四邊形的對角線互相垂直平分，如果設BC，DE的交點為F，那么BF=CF，可用A點的縱坐標即AN的長表示出BF和CF由此可求出A點的縱坐標，進而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．

解答：解：（1）連接OP，PM，設AC與OM交于N，
∵⊙P的半徑為5，
∴AC=10，
∵點M（2m，0），
∴ON=MN=m，
∵點A到x軸的距離為h，
∴CN=AC-AN=10-h，
∴B（m，-h），C（m，h-10），
同理過P作OD的垂線，根據垂徑定理即可得出OD=2PN=5-h，因此D點的坐標為（0，2h-10）
∴D（0，2h-10），
故答案為：（m，-h），（m，h-10），（0，2h-10）；
（2）①設拋物線的解析式為y=a（x-4）²-2，已知拋物線過D點，
因此-6=a（x-4）²-2，
解得a=-

1

4

，
∴拋物線的函數關系式為：y=-

1

4

(x-4)2-2，
根據對稱可知：E（8，-6）；
②當m=4時，則C（4，-8），由①可知E的坐標為（8，-6），
設直線CE的解析式為y=kx+b，
則

-8=4k+b -6=8k+b

，
解得：

k= 1 2 b=-10

∴直線CE：y=

1

2

x-10，
∴直線CE與y軸交于點R（0，-10），
當S_△CEQ=S_△CEP時，則QR=PC，
∴Q（0，-5）或Q（0，-15）；
（3）假設以B、C、D、E為頂點的四邊形組成菱形，則DE與BC互相垂直平分，設DE與BC相交于點F，于是BF=CF．
∴-h-2h+10=2h-10-h+10，即h=

5

2

，
∴AB=5                     
∴B、P兩點重合，
∴m=

52-( 5 2

)2=

5

2

3

．：

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、一次函數的解析式、垂徑定理、勾股定理、菱形的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．