Question

如下圖，在邊長為2個單位長度的正方形ABCD中，點O、E分別是AD、AB的中點，點F是以點O為圓心、OE的長為半徑的圓弧與DC的交點，點P是上的動點，連結OP，并延長交直線BC于點K．

(1)當點P從點E沿運動到點F時，點K運動了多少個單位長度？

(2)過點P作所在圓的切線，當該切線不與BC平行時，設它與射線AB、直線BC分別交于點M、G．

①當K與B重合時，BG∶BM的值是多少？

②在點P運動的過程中，是否存在BG∶BM＝3的情況？你若認為存在，請求出BK的值；你若認為不存在，試說明其中的理由．

一般地，是否存在BG∶BM＝n(n為正整數)的情況？試提出你的猜想(不要求證明)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如下圖，連結OE、OF并延長分別交直線BC于N、Q． 　　當點P從點E運動到點F時，點K從點N運動到了點Q． 　　∵O、E分別為AD、AB的中點，∠A＝90°， 　　∴∠AOE＝45°． 　　過點O作OT⊥BC于T，則∠OTN＝90°， 　　又∵ABCD是正方形，∴OT⊥AD，∠NOT＝45°． 　　∴△OTN是等腰直角三角形，OT＝NT＝2． 　　同理，TQ＝2． 　　∴NQ＝4，即點K運動了4個單位長度． 　　(2)如下圖，當K與B重合時， 　　∵MG與所在的圓相切于點P，∴OB⊥MG， 　　∴∠2＋∠3＝90°． 　　∵∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2． 　　∴Rt△BAO～Rt△GMB． 　　∴ 　　存在BG：BM＝3的情況，分析如下： 　　如下圖，假定存在這樣的點P，使得BG：BM＝3 　　過K作KH⊥OA于H， 　　那么，四邊形ABKH為矩形，即有KH＝AB＝2 　　∵MG與所在的圓相切于點P，∴OK⊥MG于P． 　　∴∠4＋∠5＝90° 　　又∵∠G＋∠5＝90°，∴∠4＝∠G． 　　又∵∠OHK＝∠GBM＝90°，∴△OHK～△MBG． 　　∴． 　　∴OH＝， 　　∴存在這樣的點K，使得BG∶BM＝3． 　　∴在點P運動的過程中，存在BG∶BM＝3的情況． 　　同樣的，可以證明：在線段BC、CD及CB的延長線上，存在這樣的點、、使得：． 　　連結交AB于點則：＝：＝3， 　　此時＝BC∴BK的值為 　　由此可以猜想，存在BG∶BM＝n(n為正整數)的情況．