Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）如果AB=AD，且AH=AE，求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）易證得△AEH≌△CGF，從而證得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形而得證．

（2）由題意知，平行四邊形ABCD是菱形，連接AC，BD，則有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可證得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四邊形HGFE是平行四邊形，故四邊形HGFE是矩形．

試題解析：證明：（1）在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，

又∵AE=CG，AH=CF，

∴△AEH≌△CGF．

∴EH=GF．

在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，

∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，

即BE=DG，DH=BF．

又∵在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D，

∴△BEF≌△DGH．

∴GH=EF．

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．

設∠A=α，則∠D=180°-α．

∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．

∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，

∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．

∴∠DHG=∠DGH=．

∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是矩形．