Question

【題目】已知為等邊三角形，點為直線上一動點(點不與點、點重合)．連接，以為邊向逆時針方向作等邊，連接，

（1）如圖1，當點在邊上時：

①求證：；

②判斷之間的數量關系是 ；

（2）如圖2，當點在邊的延長線上時，其他條件不變，判斷之間存在的數量關系，并寫出證明過程；

（3）如圖3，當點在邊的反向延長線上時，其他條件不變，請直接寫出之間存在的數量關系為 ．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②AC=CE+CD；（2）CE=AC+CD，證明見解析；（3）CD=CE+AC．

【解析】

（1）①根據等邊三角形的性質就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，進而就可以得出△ABD≌△ACE；②由△ABD≌△ACE就可以得出AC=BC=CD+CE；
（2）同（1）先證明△ABD≌△ACE，從而可得出BD=BC+CD=AC+CD=CE；

（3）同（1）先證明△ABD≌△ACE，從而可得出CE+AC=CD．

解：（1）①∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD，

∴AC=CE+CD，

故答案為：AC=CE+CD；
（2）AC+CD=CE．證明如下：
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵BD=BC+CD，
∴CE=AC+CD；

（3）DC=CE+BC．證明如下：
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE．
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD=CE．
∵CD=BD+BC，
∴CD=CE+AC．

故答案為：CD=CE+AC．