Question

【題目】如圖，已知直線l∥AB，l與AB之間的距離為2．C、D是直線l上兩個動點（點C在D點的左側），且AB=CD=5．連接AC、BC、BD，將△ABC沿BC折疊得到△A′BC．下列說法：①四邊形ABCD的面積始終為10；②當A′與D重合時，四邊形ABDC是菱形；③當A′與D不重合時，連接A′、D，則∠CA′D+∠BCA′=180°；④若以A′、C、B、D為頂點的四邊形為矩形，則此矩形相鄰兩邊之和為3或7．其中正確的是（　　）

A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：①根據平行四邊形的判定方法可得到四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據平行四邊形的面積公式計算；②根據折疊的性質得到AC=CD，然后根據菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；③連結A′D，根據折疊性質和平行四邊形的性質得到CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，∠1=∠CBA=∠2，可證明△A′CD≌△A′BD，則∠3=∠4，然后利用三角形內角和定理得到得到∠1=∠4，則根據平行線的判定得到A′D∥BC；④討論：當∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，則S矩形A′CBD=10，根據勾股定理和完全平方公式進行計算；當∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，于是得到結論．

詳解：①∵AB=CD=5，AB∥CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∴四邊形ABDC的面積=2×5=10；故①正確；

②∵四邊形ABDC是平行四邊形，∵A′與D重合時，∴AC=CD，

∵四邊形ABDC是平行四邊形，∴四邊形ABDC是菱形；故②正確；

③連結A′D，如圖，∵△ABC沿BC折疊得到△A′BC，

∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B， ∴△A′CD≌△A′BD（SSS），

∴∠3=∠4， 又∵∠1=∠CBA=∠2， ∴∠1+∠2=∠3+∠4， ∴∠1=∠4，

∴A′D∥BC， ∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正確；

④設矩形的邊長分別為a，b，當∠CBD=90°，∵四邊形ABDC是平行四邊形，

∴∠BCA=90°， ∴S△A′CB=S△ABC=5， ∴S矩形A′CBD=10，即ab=10， 而BA′=BA=5，

∴a2+b2=25， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45， ∴a+b=；

當∠BCD=90°時， ∵四邊形ABDC是平行四邊形， ∴∠CBA=90°， ∴BC=2，

而CD=5， ∴（a+b）2=（2+5）2=49， ∴a+b=7，

∴此矩形相鄰兩邊之和為或7，故④正確． 故選D．