Question

數學大師陳省身于2004年12月3日在天津逝世，陳省身教授在微分幾何等領域做出了杰出的貢獻，是獲得沃爾夫獎的惟一華人，他曾經指出，平面幾何中有兩個重要定理，一個是勾股定理，另一個是三角形內角和定理，后者表明平面三角形可以千變萬化，但是三個內角的和是不變量，下列幾個關于不變量的敘述：
（1）邊長確定的平行四邊形ABCD，當A變化時，其任意一組對角之和是不變的；
（2）當多邊形的邊數不斷增加時，它的外角和不變；
（3）當△ABC繞頂點A旋轉時，△ABC各內角的大小不變；
（4）在放大鏡下觀察，含角α的圖形放大時，角α的大小不變；
（5）當圓的半徑變化時，圓的周長與半徑的比值不變；
（6）當圓的半徑變化時，圓的周長與面積的比值不變．
其中錯誤的敘述有

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

A
分析：（1）根據平行四邊形的對角相等，若其中一個變化時，相對的角也變化，它們的和當然也變．
（2）多邊形的外角和是360°，不會變化．
（3）在圖形旋轉的過程中，對應角的大小不變．
（4）圖形放大，圖形中角的大小不變．
（5）半徑變化時，周長與半徑的比值不變，就是2π．
（6）半徑變化時，周長與面積的比會變．
解答：（1）邊長確定的平行四邊形ABCD中，由平行四邊形的性質，對角相等，所以∠A=∠C，當∠A變化時，∠C也變化，它們的和也變化．所以（1）是錯誤的．
（2）無論多邊形的邊數是多少，它的外角和都是360°，不會變化．所以（2）是正確的．
（3）△ABC在旋轉的過程中，它的形狀，大小都沒有變化，只是位置發生了變化，各內角的大小不會變化．所以（3）是正確的．
（4）放大后的圖形與原來的圖形相似，相似形的對應角相等，放大前后∠α的大小不變．所以（4）是正確的．
（5）根據圓的周長公式，圓的周長=2π•半徑，圓的周長與半徑的比值等于2π，不會變化．所以（5）是正確的．
（6）根據圓的周長和圓的面積公式，圓的周長=2π•半徑，圓的面積=π•半徑的平方，周長和面積的比=2÷半徑，半徑變化時，比值也變．所以（6）是錯誤的．
故選A．
點評：本題考查的是對圓的認識，同時對平行四邊形的性質，角，三角形，旋轉，相似也進行了考查．（1）題是用平行四邊形對角相等的性質進行判斷．（2）題運用的是多邊形外角和的概念．（3）題運用的是旋轉的性質．（4）題運用相似形的性質．（5）題用圓的周長公式．（6）題用圓的周長和面積公式．