Question

已知拋物線y=x²+bx+c，經(jīng)過點(diǎn)A（0，5）和點(diǎn)B（3，2）
（1）求拋物線的解析式：
（2）現(xiàn)有一半徑為l，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，問⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在⊙P與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法把已知坐標(biāo)代入拋物線解析式即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），當(dāng)⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，存在⊙P與坐標(biāo)軸相切的情況（⊙P與y軸相切；⊙P與x軸相切）．

解答：解：（1）由題意，得

c=5 3b+c+9=2

解得

b=-4 c=5

，
拋物線的解析式為y=x²-4x+5；

（2）當(dāng)⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，存在⊙P與坐標(biāo)軸相切的情況．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），則
當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，有|x₀|=1，x₀=±1
由x₀=-1，得y₀=1+4×1+5=10，
∴P₁（-1，10），
由x₀=1，得y₀=1-4×1+5=2，
∴P₂（1，2），
當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)有|y₀|=1
∵拋物線開口向上，且頂點(diǎn)在x軸的上方，
∴y₀=1
由y₀=1，得x₀²-4x₀+5=1，
解得x₀=2，
則P₃的坐標(biāo)是（2，1）
綜上所述，符合要求的圓心P有三個(gè)，其坐標(biāo)分別為：P₁（-1，10），P₂（1，2），P₃（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查的是直線與圓的知識(shí)以及二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，難度較大．