Question

（2013•濟南）如圖1，拋物線y=-

2

3

x²+bx+c與x軸相交于點A，C，與y軸相交于點B，連接AB，BC，點A的坐標為（2，0），tan∠BAO=2，以線段BC為直徑作⊙M交AB與點D，過點B作直線l∥AC，與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E，F．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）求點C的坐標和線段EF的長；
（3）如圖2，連接CD并延長，交直線l于點N，點P，Q為射線NB上的兩個動點（點P在點Q的右側，且不與N重合），線段PQ與EF的長度相等，連接DP，CQ，四邊形CDPQ的周長是否有最小值？若有，請求出此時點P的坐標并直接寫出四邊形CDPQ周長的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點A的坐標和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，從而求得點B的坐標為（0，4），利用待定系數法求得二次函數的解析式即可．
（2）首先根據拋物線的對稱軸求得點A的對稱點C的坐標，然后求得點B的對稱點E的坐標為（-1，4），從而求得BE的長，得到EF的長即可；
（3）作點D關于直線l的對稱點D₁（1，6），點C向右平移2個單位得到C₁（-1，0），連接C₁D₁與直線l交于點P，點P向左平移兩個單位得到點Q，四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形．

解答：解：（1）∵點A（2，0），tan∠BAO=2，
∴AO=2，BO=4，
∴點B的坐標為（0，4）．
∵拋物線y=-

2

3

x²+bx+c過點A，B，
∴

- 8 3 +2b+c=0 c=4

，
解得

b=- 2 3 c=4

，
∴此拋物線的解析式為y=-

2

3

x²-

2

3

x+4．

（2）∵拋物線對稱軸為直線x=-

1

2

，
∴點A的對稱點C的坐標為（-3，0），
點B的對稱點E的坐標為（-1，4），
∵BC是⊙M的直徑，
∴點M的坐標為（-

3

2

，2），
如圖2，過點M作MG⊥FB，則GB=GF，
∵M（-

3

2

，2），
∴BG=

3

2

，
∴BF=2BG=3，
∵點E的坐標為（-1，4），
∴BE=1，
∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四邊形CDPQ的周長有最小值．
理由如下：∵BC=

OC2+OB2

=

32+42

=5，AC=CO+OA=3+2=5，
∴AC=BC，
∵BC為⊙M直徑，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴D為AB中點，
∴點D的坐標為（1，2）．
作點D關于直線l的對稱點D₁（1，6），點C向右平移2個單位得到C₁（-1，0），連接C₁D₁與直線l交于點P，點P向左平移兩個單位得到點Q，四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形．
設直線C₁D₁的函數表達式為y=mx+n（m≠0），
∴

-m+n=0 m+n=6

，

m=3 n=3

，
∴直線C₁D₁的表達式為y=3x+3，
∵y_p=4，
∴x_p=

1

3

，
∴點P的坐標為（

1

3

，4）；
C_{四邊形CDPQ最小}=2

5

+2

10

+2．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，特別是題目中求根據對稱軸求某點關于對稱軸的對稱點更是中考的熱點考題之一，應加強訓練．