Question

1．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x²+4x與x軸的正半軸交于點A，其頂點為M，點P是該拋物線上位于A、M兩點之間的部分上的動點，過點P作PB⊥x軸于點B，PC⊥y軸于點C，且交拋物線于點D，連接BC，AD，OP，當四邊形ABCD被OP分成的兩部分面積比為1：2時，點P的坐標為（$\frac{12}{5}$，$\frac{96}{25}$）．

Answer 1

分析 如圖，連接OP交BC于E，交AD于F．首先證明四邊形OCPB是矩形，四邊形ABCD是平行四邊形，BC=AD，設EC=EB=a，DF=x，平行四邊形BC邊上的高為h，則BC=AD=2a，AF=2a-x，由題意，$\frac{1}{2}$（a+x）h：$\frac{1}{2}$（a+2a-x）h=2：1或$\frac{1}{2}$（a+x）h：$\frac{1}{2}$（a+2a-x）h=1：2，解得x=$\frac{5}{3}a$或$\frac{1}{3}$a，推出DF：AF=1：5或5：1，求出PD的長，設C（0，m），由$\left\{\begin{array}{l}{y=m}\\{y=-{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$消去y得到，x²-4x+m=0，設兩根為x₁，x₂，由題意|x₁-x₂|=$\frac{4}{5}$，得到（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{16}{25}$，可得16-4m=$\frac{16}{25}$，求出m，再求出方程的根即可．

解答 解：如圖，連接OP交BC于E，交AD于F．

∵∠PCO=∠COB=∠PBO=90°，
∴四邊形OCPB是矩形，
∴EC=EB，PC∥OB，
根據對稱性可知，CD=AB，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD，設EC=EB=a，DF=x，平行四邊形BC邊上的高為h，則BC=AD=2a，AF=2a-x，
由題意，$\frac{1}{2}$（a+x）h：$\frac{1}{2}$（a+2a-x）h=2：1或$\frac{1}{2}$（a+x）h：$\frac{1}{2}$（a+2a-x）h=1：2，
∴x=$\frac{5}{3}a$或$\frac{1}{3}$a，
∴DF：AF=1：5或5：1
∵DP∥OA，
∴$\frac{DP}{OA}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{1}{5}$或5，
∵OA=4，
∴DP=$\frac{4}{5}$或20（舍棄），
設C（0，m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=m}\\{y=-{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$消去y得到，x²-4x+m=0，設兩根為x₁，x₂，
∴|x₁-x₂|=$\frac{4}{5}$，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{16}{25}$，
∴16-4m=$\frac{16}{25}$，
∴m=$\frac{96}{25}$，
∴x²-4x+$\frac{96}{25}$=0，
∴x₁=$\frac{12}{5}$或$\frac{8}{5}$，
∴點P坐標（$\frac{12}{5}$，$\frac{96}{25}$），
故答案為（$\frac{12}{5}$，$\frac{96}{25}$）．

點評 本題考查二次函數的應用，矩形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、一元二次方程的根與系數的關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，屬于中考填空題中的壓軸題．