Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連接AC，BC，，AD=3．給出下列結論：①AC平分∠BAD；②△ABC∽△ACE；③AB=3PB；④S△ABC=5，其中正確的是__________（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①首先連接OC，由PE是⊙O的切線，AE和過點C的切線互相垂直，可證得OC∥AE，又由OA=OC，易證得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；

②根據兩角相等兩三角形相似即可判斷；

③由AB是⊙O的直徑，PE是切線，可證得∠PCB=∠PAC，即可證得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的對應邊成比例與PB：PC=1：2，即可求得答案；

④首先過點O作OH⊥AD于點H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得OC的長，再由△PBC∽△PCA，證得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的長，繼而求得答案；

連接OC，

∵PE是⊙O的切線，

∴OC⊥PE，

∵AE⊥PE，

∴OC∥AE，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠BAD；故①正確，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠AEC=90°，

∵∠CAE=∠CAB，

∴△AEC∽△ACB，故②正確，

∵∠BAC+∠ABC=90°，

∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC，

∵∠PCB+∠OCB=90°，

∴∠PCB=∠PAC，

∵∠P是公共角，

∴△PCB∽△PAC，

∴，

∴PC2=PBPA，

∵PB：PC=1：2，

∴PC=2PB，

∴PA=4PB，

∴AB=3PB；故③正確

過點O作OH⊥AD于點H，則AH=AD=，四邊形OCEH是矩形，

∴OC=HE，

∴AE=+OC，

∵OC∥AE，

∴△PCO∽△PEA，

∴，

∵AB=3PB，AB=2OB，

∴OB=PB，

∴，

∴OC=，

∴AB=5，

∵△PBC∽△PCA，

∴，

∴AC=2BC，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（2BC）2+BC2=52，

∴BC=，

∴AC=2，

∴S△ABC=ACBC=5．故④正確，

故答案為：①②③④．