Question

【題目】如圖，在菱形中，，與交于點 ，為延長線上的一點，且，連接分別交，于點 ，，連接，則下列結論中一定成立的是__________．

①；②與全等的三角形共有5個；③；④由點、、、構成的四邊形是菱形

Answer 1

【答案】①④

【解析】

由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ACD的中位線，得出OG=CD=AB，①正確；

先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，④正確；

由菱形的性質得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS證明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正確；

證出OG是△ABD的中位線，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性質和面積關系得出S四邊形ODGF=S△ABF；③不正確；即可得出結果．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，

∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，

∵CD=DE，

∴AB=DE，

在△ABG和△DEG中，

，

∴△ABG≌△DEG（AAS），

∴AG=DG，

∴OG是△ACD的中位線，

∴OG=CD=AB，①正確；

∵AB∥CE，AB=DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵∠BCD=∠BAD=60°，

∴△ABD、△BCD是等邊三角形，

∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，

∴OD=AG，四邊形ABDE是菱形，④正確；

∴AD⊥BE，

由菱形的性質得：△ABG≌△BDG≌△DEG，

在△ABG和△DCO中，

，

∴△ABG≌△DCO（SAS），

∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正確；

∵OB=OD，AG=DG，

∴OG是△ABD的中位線，

∴OG∥AB，OG=AB，

∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，

∴△GOD的面積=△ABD的面積，△ABF的面積=△OGF的面積的4倍，AF：OF=2：1，

∴△AFG的面積=△OGF的面積的2倍，

又∵△GOD的面積=△AOG的面積=△BOG的面積，

∴S四邊形ODGF=S△ABF；③不正確；

正確的是①④．

故答案為：①④．