Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E．
（1）求證：△AEC是等腰三角形；
（2）若P為線段AC上一動點，作PG⊥AB′于G、PH⊥DC于H，求證：PG+PH=AD．

Answer 1

分析：（1）根據翻折的性質可得∠BAC=∠EAC，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BAC=∠ECA，從而得到∠EAC=∠ECA，再根據等角對等邊證明即可；
（2）連接EP，根據△AEC的面積列式整理即可得證．

解答：（1）證明：由翻折的性質得，∠BAC=∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，
∴△AEC是等腰三角形；

（2）證明：如圖，連接EP，
S_△AEC=

1

2

AE•PG+

1

2

EC•PH=

1

2

EC•AD，
所以，PG+PH=AD．

點評：本題考查了翻折變換的性質，矩形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，以及三角形的面積，熟記翻折前后兩個圖形能夠重合找出相等的角是解題的關鍵．