Question

如圖，在?ABCD中，過點B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE．F為AE上一點，且∠BFE=∠C．
（1）試說明：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=8，BE=6，AD=7，求BF的長．

Answer 1

分析：（1）可通過證明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，證得△ABF∽△EAD；
（2）根據(jù)（1）的相似三角形可得出關于AB，AE，AD，BF的比例關系，有了AD，AB的長，只需求出AE的長即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的長，這樣就能求出BF的長了．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
∴AE=

AB2+BE2

=

82+62

=10．
∵由（1）知，△ABF∽△EAD，
∴

BF

AD

=

AB

AE

．
∴

BF

7

=

8

10

．
∴BF=5.6．

點評：本題主要考查了三角形的判定和性質，同時也用到了平行四邊形的性質和等角的補角相等等知識點．