Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD交于點O，分別過點C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于點E．

（1）求證：四邊形ODEC是矩形；

（2）當∠ADB=60°，AD=2時，求sin∠AED的值，求∠EAD的正切值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）先證四邊形ODEC是平行四邊形，然后根據菱形的對角線互相垂直，得到∠DOC=90°，根據矩形的定義即可判定四邊形ODEC是矩形；

（2）如圖，過點E作EF⊥AD，交AD的延長線于F，構建直角△DEF，在該直角三角形中，∠F=90°，∠EDF=30°，易求DF的長度．所以通過解Rt△AFE來求tan∠EAD的值．

試題解析：（1）∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四邊形ODEC是平行四邊形．

又∵菱形ABCD，

∴AC⊥BD，

∴∠DOC=90°．

∴四邊形ODEC是矩形．

（2）如圖，過點E作EF⊥AD，交AD的延長線于F．

∵AC⊥BD，∠ADB=60°，AD=2，

∴OD=，AO=OC=3．

∵四邊形ODEC是矩形，

∴DE=OC=3，∠ODE=90°．

又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF=180°，

∴∠EDF=30°．

在Rt△DEF中，∠F=90°，∠EDF=30°，

∴EF=DE=．

∴DF=．

在Rt△AFE中，∠DFE=90°，

∴tan∠EAD==．