Question

（14分）把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞O點逆時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．

（1）在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；（要有輔助線喲！）

（2）連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的，若存在，求出此時x值；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）BH=CK；四邊形CHGK的面積不變；（2）y=-2x+4（0＜x＜4）；（3）x=1或x=3．

【解析】

試題分析：（1）連接CG，根據中線的性質得出CG=BG，CG⊥AB，根據旋轉圖形的性質得出△BGH和△CGK全等，將四邊形的面積轉化成△CHG的面積+△CGK的面積，根據全等得出△CHG的面積+△BGH的面積，即△ABC面積的一半；（2）連接HK，則BK=CK=x，CH=4－x，根據△GHK的面積=四邊形CHGK的面積-△CHK的面積求出函數關系式；（3）根據（2）中的結論列出一元二次方程，然后求出x的值．

試題解析：（1）在上述旋轉過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變。

證明：連接CG，

∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點，∴CG=BG，CG⊥AB，

∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH與∠CGK均為旋轉角，∴∠BGH=∠CGK，

在△BGH與△CGK中，∠B=∠KCG,BG=CG, ∠BCG=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA）， ∴BH=CK，△BGH的面積=△CGK的面積．

∴四邊形CHGK的面積=△CHG的面積+△CGK的面積=的面積△CHG+△BGH的面積=S△ABC=××4×4=4

即：四邊形CHGK的面積為4，是一個定值，在旋轉過程中沒有變化；

（2）∵AC=BC=4，BK=x，∴CH=4-x，CK=x，連接HK．

由△GHK的面積=四邊形CHGK的面積-△CHK的面積，得y=4-x（4-x）=-2x+4 由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，∴0＜x＜4；

（3）存在．根據題意，得-2x+4=×8 解這個方程，得=1，=3，

即：當x=1或x=3時，△GHK的面積均等于△ABC的面積的。

考點：圖形的旋轉、一元二次方程的應用．

考點分析： 考點1：圖形的平移與旋轉 定義：
將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。平移是圖形變換的一種基本形式。平移不改變圖形的形狀和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性質：
經過平移，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等，對應點所連接的線段平行且相等；
平移變換不改變圖形的形狀、大小和方向(平移前后的兩個圖形是全等形)。
（1）圖形平移前后的形狀和大小沒有變化，只是位置發生變化;
（2）圖形平移后，對應點連成的線段平行（或在同一直線上）且相等
（3）多次連續平移相當于一次平移。
（4）偶數次對稱后的圖形等于平移后的圖形。
（5）平移是由方向和距離決定的。
這種將圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的位置移動，叫做圖形的平移運動，簡稱為平移
平移的條件：確定一個平移運動的條件是平移的方向和距離。 平移的三個要點
1 原來的圖形的形狀和大小和平移后的圖形是全等的。
2 平移的方向。（東南西北，上下左右,東偏南n度，東偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距離。（長度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通過簡單的平移可以構造精美的圖形。也就是花邊，通常用于裝飾，過程就是復制-平移-粘貼。
2.平移長于平行線有關,平移可以將一個角,一條線段,一個圖形平移到另一個位置,是分散的條件集中到一個圖形上,使問題得到解決。 平移作圖的步驟：
（1）找出能表示圖形的關鍵點；
（2）確定平移的方向和距離；
（3）按平移的方向和距離確定關鍵點平移后的對應點；
（4）按原圖的順序，連結各對應點。 試題屬性

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