Question

△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如圖1，根據勾股定理，則a²+b²=c²．若△ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關系，并證明你的結論．

Answer 1

若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²（1分）
若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²．（2分）
當△ABC是銳角三角形時，
證明：過點A作AD⊥BC，垂足為D，設CD為x，則有BD=a-x（3分）
根據勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
∴a²+b²=c²+2ax（5分）
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0．
∴a²+b²＞c²．（6分）
當△ABC是鈍角三角形時，
證明：過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D．
設CD為y，則有BD²=a²-y²（7分）
根據勾股定理，得（b+y）²+a²-y²=c²．
即a²+b²+2by=c²．（9分）
∵b＞0，y＞0，
∴2by＞0，
∴a²+b²＜c²．（10分）