Question

（2012•上海）己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點G．
（1）求證：BE=DF；
（2）當

DF

FC

=

AD

DF

時，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）證得△ABE與△AFD全等后即可證得結論；
（2））利用

DF

FC

=

AD

DF

得到

FD

FC

=

AD

BE

=

DG

GB

，從而根據平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后證得BE=GF，利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△ADG∽△EBG
∴

AD

BE

=

DG

BG

又∵BE=DF，

DF

FC

=

AD

DF

∴

DG

BG

=

AD

DF

=

DF

FC

∴GF∥BC （平行線分線段成比例）
∴∠DGF=∠DBC
∵BC=CD
∴∠BDC=∠DBC=∠DGF
∴GF=DF=BE
∵GF∥BC，GF=BE
∴四邊形BEFG是平行四邊形

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質，特別是第二問如何利用已知比例式進行轉化是解決此題的關鍵．