Question

如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結論：①AF=DE，②AF⊥DE（不須證明）．
（1）如圖②，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF，則上面的結論①、②是否仍然成立；（請直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如圖③，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）如圖④，在（2）的基礎上，連接AE和EF，若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請先判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種，并寫出證明過程．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質證明△DEC≌△AFD即可知道結論成立．
（2）由已知得四邊形ABCD為正方形，證明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；進而得出AF⊥DE；
（3）首先根據題意證明四邊形MNPQ是菱形，然后又因為AF⊥DE，得出四邊形MNPQ為正方形．

解答：解：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，
∴△DEC≌△AFD；
∴結論①、②成立（1分）

（2）結論①、②仍然成立．理由為：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，
在Rt△ADF和Rt△ECD中

AD=DC ∠ADC=∠DCB CE=DF

，
∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），（3分）
∴AF=DE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AF⊥DE；（5分）

（3）結論：四邊形MNPQ是正方形（6分）
證明：∵AM=ME，AQ=QD，
∴MQ∥DE且MQ=

1

2

DE，
同理可證：PN∥DE，PN=

1

2

DE；MN∥AF，MN=

1

2

AF；PQ∥AF，PQ=

1

2

AF；
∵AF=DE，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四邊形MNPQ是菱形，（8分）
又∵AF⊥DE，
∴∠MQP=90°，
∴四邊形MNPQ是正方形．（10分）

點評：本題考查的是全等三角形的判定，正方形的判定以及正方形的性質，難度一般．