Question

已知：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+c（a≠0）過點A（-6，0）和點B（2，8），線段AB交y軸于點C．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上一個動點，過點M作x軸的垂線，交拋物線y=ax²+c于點N，求線段MN的長度的最大值；
（3）設拋物線y=ax²+c與x軸的另一個交點為E，連接CE．過點O作CE的平行線l．在直線l上是否存在點P，在y軸右側的拋物線y=ax²+c上是否存在點Q，使得四邊形COPQ為直角梯形？若存在，請求出P、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A（-6，0）、B（2，8），代入y=ax²+c（a≠0），求出二次函數解析式即可求出；
（2）首先求出直線AB的解析式，設點M的坐標為（m，y₁），因為點M在線段AB上，得出y₁=m+6，設N點坐標為（m，y₂），得出
y₂的關系式，相減，利用二次函數的最值求出即可；
（3）根據直角梯形的判定方法，分別由①若CQ∥OP，②CO∥PQ，進行分析得出．

解答：解：（1）因為拋物線y=ax²+c（a≠0）過點A（-6，0）、B（2，8），
所以

(-6)2•a+c=0 22•a+c=8.

解這個方程組，
得

a=- 1 4 c=9.

所以拋物線的解析式為：y=-

1

4

x2+9；

（2）設直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），
因為A、B坐標分別為A（-6，0），B（2，8），
所以

-6k+b=0 2k+b=8.

解這個方程組，得

k=1 b=6.

所以直線AB的解析式為：y=x+6．
設點M的坐標為（m，y₁）（-6≤m≤2），因為點M在線段AB上，所以y₁=m+6．
因為MN⊥x軸，我們可設N點坐標為（m，y₂）．
因為點N在拋物線上，所以y2=-

1

4

m2+9．
因為點N在點M的上方，
所以MN=y₂-y₁=(-

1

4

m2+9)-(m+6)=-

1

4

m2-m+3．
即MN=-

1

4

(m+2)2+4．
所以當m=-2時，MN長度的最大值為4．

（3）存在．理由如下：
要使四邊形COPQ為直角梯形，則四邊形COPQ
首先必須為梯形，即需滿足CQ∥OP或CO∥PQ．
①若CQ∥OP，
因為O、P兩點在直線l上，即有CQ∥l．
又因CE∥l，所以點Q在直線CE上．
因為點Q又在拋物線y=-

1

4

x2+9上，
所以點Q是直線CE與拋物線y=-

1

4

x2+9的交點．
由已知E是直線CE與拋物線y=-

1

4

x2+9的交點，
所以E就是滿足條件的一個Q₁點．
在y=-

1

4

x2+9中，令y=0，即-

1

4

x2+9=0，解得x₁=6，x₂=-6（舍去）．
所以E（6，0），即Q₁（6，0）．因為直線CE與拋物線y=-

1

4

x2+9的另一個交點在第二象限，故舍去．
過點Q₁（6，0）作Q₁P₁⊥l，垂足為P₁點，過點P₁作P₁F⊥x軸，垂足為F．
在直線y=x+6中，令x=0，得y=6．即點C的坐標為（0，6）．
在Rt△COQ₁中，因為OC=OQ₁=6，所以∠CQ₁O=45°．
因為CQ₁∥l，所以∠Q₁OP₁=∠CQ₁O=45°．
所以△OP₁Q₁是等腰直角三角形．
所以OF=

1

2

OQ1=3，P1F=

1

2

OQ1=3，所以P₁點的坐標是（3，-3）．
②CO∥PQ，
因為直線l與直線OC不垂直，所以點C必為直角頂點．CQ⊥y軸．
因為點C的坐標為（0，6），我們可設Q（n，6），
因為點Q在拋物線y=-

1

4

x2+9上，
所以6=-

1

4

n2+9，
解得：n1=2

3

，n2=-2

3

（舍去）．
得Q₂點的坐標為(2

3

，6)．
設P₂Q₂（點P₂在直線l上），交x軸于點G，則OG=CQ2=2

3

．
在Rt△OGP₂中，∠EOP₂=45°，P2G=OG=2

3

，
所以點P₂的坐標為(2

3

，-2

3

)．
綜上所述，存在滿足條件的點P和點Q，坐標分別是：
P₁（3，-3），Q₁（6，0）或P2(2

3

，-2

3

)，Q2(2

3

，6)．

點評：此題主要考查了二次函數的最值以及待定系數法求解析式和梯形的判定方法等知識，此題綜合性比較強，用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．