Question

已知，如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為(-2，0)，點B坐標為 （0，2 ），點E為線段AB上的動點(點E不與點A，B重合)，以E為頂點作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點F，C為y軸正半軸上一點，且OC=AB，拋物線y=x²+mx+n的圖象經過A，C兩點.

（1） 求此拋物線的函數表達式；

（2） 求證：∠BEF=∠AOE；

（3） 當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；

（4） 在（3）的條件下，當直線EF交x軸于點D，P為（1） 中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（） 倍.若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

溫馨提示：考生可以根據題意，在備用圖中補充圖形，以便作答.

Answer 1

解：（1） 如答圖①， ∵A （-2， 0）  B （0， 2）

∴OA=OB=2 ∴AB²=OA²+OB²=2²+2²=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2， 即C （0， 2）

又∵拋物線y=-x²+mx+n的圖象經過A、C兩點  則可得解得：∴拋物線的表達式為y=-x²-x+2

（2） ∵OA=OB  ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE

∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE

（3） 當△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論

①當OE=OF時， ∠OFE=∠OEF=45°

在△EOF中， ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°

又∵∠AOB＝90°

則此時點E與點A重合， 不符合題意， 此種情況不成立.

②如答圖②， 當FE=FO時，

∠EOF=∠OEF=45°

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 ∴ E(-1， 1)

③如答圖③， 當EO=EF時， 過點E作EH⊥y軸于點H  在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF  ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2

∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB  ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°

在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45°  ∴EH=BH=BEcos45°=2×=

∴OH=OB-BH=2- 2∴ E(-， 2-)

綜上所述， 當△EOF為等腰三角形時， 所求E點坐標為E(-1， 1)或E(-， 2- 2)

（4） P(0， 2)或P （-1， 2 ）