Question

【題目】如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2，腰長為3，一個底角為60°．正△ABC的邊長為1，它的一邊AC在MN上，且頂點A與M重合．現將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止滾動．

（1）請在所給的圖中，畫出頂點A在正△ABC整個翻滾過程中所經過的路線圖；

（2）求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路徑長；

（3）求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S．

Answer 1

【答案】（1）畫圖見解析；（2）點A所經過的路線長π；（3）π+．

【解析】

試題分析：（1）根據將正△ABC在梯形的外面沿邊MN、NP、PQ進行翻滾翻滾到有一個頂點與Q重合即停止滾動，轉動過程中始終是以半徑為1的弧，據此畫出圓弧即可．

（2）根據翻滾路線結合弧長公式求出即可；

（3）根據總結的翻轉角度和翻轉半徑，求出圓弧與梯形的邊長圍成的扇形的面積即可．

解：（1）如圖所示：

（2）點A所經過的路線長：×4+=π；

（3）如圖所示：

根據正三角形邊長為1，則高AD為：cos30°=，則AD=，

故面積為：×1×，

圍成的圖形的面積：3個圓心角為120°的扇形+2個正三角形的面積+一個半圓面積，

（根據要求正△ABC在整個翻滾過程中頂點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S，則最后一段弧沒有和PQ圍成閉合的圖形，故可以不求這部分面積）

所以點A所經過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ所圍成圖形的面積S為：

×π×12+2×1×+3×=π+．