Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連接AD并延長與BC相交于點E．
（1）若BC=

3

，CD=1，求⊙O的半徑；
（2）取BE的中點F，連接DF，求證：DF是⊙O的切線；
（3）過D點作DG⊥BC于G，DG與OE相交于點M，求證：DM=GM．

Answer 1

分析：本題從切線BC著手，在直角三角形中得到半徑，再從切線的判定出發(fā)，

解答：（1）解：∵BC是⊙O的切線，
∴AB⊥BC
∴BC²+OB²=OC²
由題意得
(

3

)2+r2=(1+r)2
即r=1．

（2）證明：連接OF，可得OF為△ABE的中位線，
∴OF∥AE，
∴∠BOF=∠A，∠COF=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠BOD=∠A+∠ADO=2∠A，
∴∠BOF=∠COF，
∵OD=OB，OF=OF．
∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF=∠OBF=90°，
即FD是⊙O的切線．

（3）證明：∵DG∥AB
∴

DM

AO

=

EM

EO

=

MG

OB

，AO=BO
∴DM=GM．

點評：本題考查了切線的判定以及其性質(zhì)，從切線性質(zhì)得到關(guān)系式求得圓半徑，從全等求得∠ODF=∠OBF=90°而得到（2），從DG∥AB三角形中的關(guān)系式而求得（3）．