Question

【題目】圖1和圖2中的正方形ABCD和四邊形AEFG都是正方形．
（1）如圖1，連接DE，BG，M為線段BG的中點，連接AM，探究AM與DE的數量關系和位置關系，并證明你的結論；
（2）在圖1的基礎上，將正方形AEFG繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連結DE、BG，M為線段BG的中點，連結AM，探究AM與DE的數量關系和位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：AM= DE，AM⊥DE，理由是：

如圖1，設AM交DE于點O，

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AD=AB，

∵∠DAE=∠BAG，

∴△DAE≌△BAG，

∴DE=BG，∠AED=∠AGB，

在Rt△ABG中，

∵M為線段BG的中點，

∴AM= BG，AM=BM，

∴AM= DE，

∵AM=BM，

∴∠MBA=∠MAB，

∵∠AGB+∠MBA=90°，

∴∠MAB+∠AED=90°，

∴∠AOE=90°，即AM⊥DE

（2）解：AM= DE，AM⊥DE，理由是：

如圖2，延長AM到N，使MN=AM，連接NG，

∵MN=AM，MG=BM，∠NMG=∠BMA，

∴△MNG≌△MAB，

∴NG=AB，∠N=∠BAN，

由（1）得：AB=AD，

∴NG=AD，

∵∠BAN+∠DAN=90°，

∴∠N+∠DAN=90°，

∴NG⊥AD，

∴∠AGN+∠DAG=90°，

∵∠DAG+∠DAE=∠EAG=90°，

∴∠AGN=∠DAE，

∵NG=AD，AG=AE，

∴△AGN≌△EAD，

∴AN=DE，∠N=∠ADE，

∵∠N+∠DAN=90°，

∴∠ADE+∠DAN=90°，

∴AM⊥DE．

【解析】（1）AM= DE，AM⊥DE，理由是：先證明△DAE≌△BAG，得DE=BG，∠AED=∠AGB，再根據直角三角形斜邊的中線的性質得AM= BG，AM=BM，則AM= DE，由角的關系得∠MAB+∠AED=90°，所以∠AOE=90°，即AM⊥DE；（2）AM= DE，AM⊥DE，理由是：作輔助線構建全等三角形，證明△MNG≌△MAB和△AGN≌△EAD可以得出結論．