Question

（2006•柳州）如圖，已知二次函數y=ax²+bx+c的象經過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數的解析式，并寫出頂點M及點C的坐標；
（2）若直線y=kx+d經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意將點A，B，N的坐標代入函數解析式，組成方程組即可求得；
（2）求得點C，M的坐標，可得直線CM的解析式，可求得點D的坐標，即可得到CD=，AN=，AD=2，CN=2，根據平行四邊形的判定定理可得四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）假設存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，因為這個二次函數的對稱軸是直線x=1，故可設P（1，y），則PA是圓的半徑且PA²=y²+2²，
過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切．
由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，繼而求得滿足題意的點P存在，其坐標為（1，）或（1，）．
解答：解：（1）因為二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過點A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）
所以，可建立方程組：，
解得：
所以，所求二次函數的解析式為y=-x²+2x+3，
所以，頂點M（1，4），點C（0，3）．

（2）直線y=kx+d經過C、M兩點，
所以，
即k=1，d=3，
直線解析式為y=x+3．
令y=0，得x=-3，
故D（-3，0）
∴CD=，AN=，AD=2，CN=2
∴CD=AN，AD=CN（2分）
∴四邊形CDAN是平行四邊形．

（3）假設存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，
因為這個二次函數的對稱軸是直線x=1，
故可設P（1，y），
則PA是圓的半徑且PA²=y²+2²，
過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切．
由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，
故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，y）得PE=y，PM=|4-y|，，
由PQ²=PA²得方程：，
解得，符合題意，
所以，滿足題意的點P存在，其坐標為（1，）或（1，）．
點評：此題考查了二次函數與平行四邊形以及圓的知識的綜合應用，要注意待定系數法求函數解析式，還要注意數形結合思想的應用．