Question

已知關于x的一元二次方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0
（1）試判斷上述方程根的情況；
（2）若以上述方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數的圖象上，求滿足條件的m的最小值；
（3）已知△ABC的兩邊AB、AC的長是關于上述方程的兩個實數根，BC的長為5．
①當k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形?
②當k為何值時，△ABC是等腰三角形?請求出此時△ABC的周長．

Answer 1

（1）有兩個不相等的實數根；（2）；（3）①2或3；②k=3或4，周長為14和16

試題分析：（1）先由題意求得根的判別式△的值，即可作出判斷；
（2）設方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的兩個根為，，根據題意得．又由一元二次方程根與系數的關系得，，從而可得，再根據二次函數的性質即可求得結果；                      
（3）①由題意可得x₁="k" +1，x₂=k+2．不妨設AB=k+1，AC=k+2．再根據勾股定理即可列方程求解；                                       
②分AC=BC=5與AB=BC=5兩種情況，結合等腰三角形的性質求解即可.
（1）由方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0，得b²4ac=1，方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程x²(2k+3)x+k²+3k+2=0的兩個根為，，根據題意得．
又由一元二次方程根與系數的關系得， 
，                               
所以，當k＝時,m取得最小值；                      
（3）①x₁="k" +1，x₂=k+2．不妨設AB=k+1，AC=k+2．
斜邊BC=5時，有AB²+AC²=BC²，即(k+1)²+(k+2)²=25                                                   
解得k₁=2，k₂=5(舍去)                                
當k="2" 時，△ABC是直角三角形；                         
②AB=k+1，AC=k+2，BC=5,  
由（1）知AB≠AC          
故有兩種情況：
（Ⅰ）當AC=BC=5時，k+2=5，k=3．
∵5、5、4能組成三角形，
△ABC的周長為5+5+k+1=14        
（Ⅱ）當AB=BC=5時，k+1=5，k=4．
∵5、5、6能組成三角形，
△ABC的周長為5+5+k+2=16．
故△ABC的周長分別是14和16．
點評：解題的關鍵是熟記一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）方程有兩個不相等的實數根；（2）方程有兩個相等的實數根；（3）方程沒有實數根．