Question

【題目】如圖，拋物線的頂點坐標為C（0，8），并且經過A（8，0），點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點），過點P作直線y=8的垂線，垂足為點F，點D，E的坐標分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想并探究：對于任意一點P，PD與PF的差是否為固定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由；

（3）求：①當△PDE的周長最小時的點P坐標；②使△PDE的面積為整數的點P的個數．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+8；（2）PD與PF的差是定值，PD﹣PF=2；（3）①P（4，6），此時△PDE的周長最小；②共有11個令S△DPE為整數的點．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x+h）2+k

∵點C（0，8）是它的頂點坐標， ∴y=ax2+8

又∵經過點A（8，0），

有64a+8=0，解得a=

故拋物線的解析式為：y=x2+8；

（2）是定值，解答如下：

設P（a，a2+8），則F（a，8），

∵D（0，6），

∴PD=

PF=，

∴PD﹣PF=2；

（3）當點P運動時，DE大小不變，則PE與PD的和最小時，△PDE的周長最小，

∵PD﹣PF=2，∴PD=PF+2，

∴PE+PD=PE+PF+2，

∴當P、E、F三點共線時，PE+PF最小，

此時點P，E的橫坐標都為4，

將x=4代入y=x2+8，得y=6，

∴P（4，6），此時△PDE的周長最小．

過點P做PH⊥x軸，垂足為H．

設P（a，a2+8）

∴PH=a2+8，EH=a-4，OH=a

S△DPE=S梯形PHOD-S△PHE-S△DOE

=

=

=

∵點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點）

∴0≤a≤8

當a=6時，S△DPE取最大值為13．

當a=0時，S△DPE取最小值為4．

即4≤S△DPE≤13

其中，當S△DPE=12時，有兩個點P．

所以，共有11個令S△DPE為整數的點．