Question

（2006•益陽）如圖，已知拋物線y=-x²+mx+3與x軸的一個交點A（3，0）．
（1）你一定能分別求出這條拋物線與x軸的另一個交點B及與y軸的交點C的坐標，試試看；
（2）設拋物線的頂點為D，請在圖中畫出拋物線的草圖．若點E（-2，n）在直線BC上，試判斷E點是否在經過D點的反比例函數的圖象上，把你的判斷過程寫出來；
（3）請設法求出tan∠DAC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A點的坐標代入拋物線的解析式，就可以求出m的值，得到拋物線的解析式．在解析式中令y=0，解方程就可以求出與x軸的交點．
（2）根據函數解析式就可求出拋物線的頂點坐標，利用待定系數法求出反比例函數的解析式．
經過C，B的直線解析式可以用待定系數法求得，進而求出E點的坐標．把E的坐標代入反比例函數解析式，就可以判斷是否在反比例函數的圖象上．
（3）過D作DF⊥y軸于點F，則△CFD為等腰直角三角形，△AOC是等腰直角三角形，根據勾股定理就可以求出CD，AC的長度．Rt△ADC中中根據三角函數的定義就可以求出三角函數值．
解答：解：（1）因為A（3，0）在拋物線y=-x²+mx+3上，
則-9+3m+3=0，解得m=2．
所以拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
因為B點為拋物線與x軸的交點，求得B（-1，0），
因為C點為拋物線與y軸的交點，求得C（0，3）．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D（1，4），
畫這個函數的草圖．
由B，C點的坐標可求得直線BC的解析式為y=3x+3，
∵點E（-2，n）在y=3x+3上，
∴E（-2，-3）．
可求得過D點的反比例函數的解析式為y=．
當x=-2時，y==-2≠-3．
∴點E不在過D點的反比例函數圖象上．

（3）過D作DF⊥y軸于點F，則△CFD為等腰直角三角形，且CD=．
連接AC，則△AOC為等腰直角三角形，且AC=3．
因為∠ACD=180°-45°-45°=90°，
∴Rt△ADC中，tan∠DAC=．
另解：∵Rt△CFD∽Rt△COA，
∴．
∵∠ACD=90°，
∴tan∠DAC=．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及二次函數頂點坐標的求法．