Question

【題目】如圖所示，矩形ABCD的邊長AB＝2，BC＝2，△ADE為正三角形．

若半徑為R的圓能夠覆蓋五邊形ABCDE（即五邊形ABCDE的每個頂點都在圓內或圓上），則R的最小值是（ ）

A.2B.4C.2.8D.2.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AC、BE、CE，取BC的中點F，連接EF，根據勾股定理可得AC，根據直角三角形的邊角關系可得∠ACB＝30°，∠CAD＝30°，再根據正三角形的性質可得：∠EAD＝∠EDA＝60°，AE＝AD＝DE＝2，進而推出△EAC是直角三角形，由勾股定理可得EC的長．判斷△EAB≌△EDC，根據全等三角形的性質可得EB＝EC，繼而根據題意可判斷能夠覆蓋五邊形ABCDE的最小圓的圓心在線段EF上，且此圓只要覆蓋住△EBC必能覆蓋五邊形ABCDE，從而此圓的圓心到△BCE的三個頂點距離相等．根據等腰三角形的判定和性質可得F是BC中點，BF＝CF＝，EF⊥BC，由勾股定理可得EF的長，繼而列出關于R的一元二次方程，解方程即可解答．

如圖所示，連接AC、BE、CE，取BC的中點F，連接EF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠DAB＝∠BCD＝∠ADC＝90°,AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝2

∵BC＝2，AB＝2

由勾股定理可得：

AC＝＝＝4

∴sin∠ACB＝＝，sin∠CAD＝＝

∴∠ACB＝30°，∠CAD＝30°

∵△ADE是正三角形

∴∠EAD＝∠EDA＝60°，AE＝AD＝DE＝2，

∴∠EAC＝∠EAD＋∠CAD＝90°,

∴△EAC是直角三角形，

由勾股定理可得：

EC＝＝＝

∵∠EAB＝∠EAD＋∠BAD＝150°

∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝150°

∴∠EAB＝∠EDC

∵EA＝ED，AB＝DC

∴△EAB≌△EDC

∴EB＝EC＝

即△EBC是等腰三角形

∵五邊形ABCDE是軸對稱圖形，其對稱軸是直線EF，

∴能夠覆蓋五邊形ABCDE的最小圓的圓心在線段EF上，且此圓只要覆蓋住△EBC必能覆蓋五邊形ABCDE．從而此圓的圓心到△BCE的三個頂點距離相等．

設此圓圓心為O，則OE＝OB＝OC＝R，

∵F是BC中點

∴BF＝CF＝，EF⊥BC

在Rt△BEF中，由勾股定理可得：

EF＝＝＝5

∴OF＝EF－OE＝5－R

在Rt△OBF中，

即

解得：R＝2.8

∴能夠覆蓋五邊形ABCDE的最小圓的半徑為2.8．

故選C．