Question

如圖，在矩形ABCD中，BD=10，AD＞AB，設(shè)∠ABD=α，∠DBC=β，已知sinα、sinβ是方程25x²-kx+12=0的一個實根，點E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，EC+CF=4，設(shè)BE=x，△AEF的面積等于y．
（1）求AB•AD的值；
（2）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出sinα•sinβ=

c

a

，進(jìn)而求出AB•AD的值；
（2）本題中△AEF的面積無法直接求出，可用梯形ABCF的面積-△ABE的面積-△CEF的面積來求．關(guān)鍵是求出AD，BC的長．即可表示出AB、BE、CE、CF的長，然后按上面所說的△AEF的面積計算方法即可求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵sinα=

AD

BD

，sinβ=

CD

BD

，BD=10，
∴sinα•sinβ=

c

a

=

AD

10

×

CD

10

=

12

25

，
∴AD×CD=48，
∴AB•AD的值為48；

（2）∵AB•AD的值為48，AB²+AD²=BD²=100，
∴（AB+AD）²-2AB•AD=100，
∴（AB+AD）²=196，
∴AB+AD=14，
∵AD＞AB，
∴AD=8，AB=6，
∵BE=x，
∴EC=8-x，F(xiàn)C=4-EC=x-4，DF=6-FC=10-x．
則△AEF的面積：y=8×6-

1

2

×6x-

1

2

×8（10-x）-

1

2

（8-x）（x-4）=

1

2

x²-5x+24（4＜x＜8）．

點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、圖形面積的求法及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點．不規(guī)則圖形或無法直接求出的圖形面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．