Question

【題目】定義：如圖1，拋物線與軸交于A，B兩點，點P在拋物線上（點P與A，B兩點不重合），如果△ABP的三邊滿足，則稱點P為拋物線的勾股點。

（1）直接寫出拋物線的勾股點的坐標；

（2）如圖2，已知拋物線C：與軸交于A，B兩點，點P（1，）是拋物線C的勾股點，求拋物線C的函數表達式；

（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件的點Q（異于點P）的坐標

Answer 1

【答案】（1）（0，1）；（2）y=﹣x2+x；（3）（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線勾股點的定義即可求解；

（2）作PG⊥x軸，由P點坐標求得AG=1、PG=、 PA=2，由tan∠PAB=知∠PAG=60°,從而求得AB=4，即B（4，0），運用待定系數法即可求解；

（3）由SΔABQ=SΔABP且兩三角形同底，可知點Q到x軸的距離為，據此可求解.

試題解析： （1）拋物線y=﹣x2+1的勾股點的坐標為（0，1）；

（2）拋物線y=ax2+bx過原點，即點A（0，0），

如圖，作PG⊥x軸于點G，

∵點P的坐標為（1，），

∴AG=1、PG=，PA==2，

∵tan∠PAB=，

∴∠PAG=60°，

在Rt△PAB中，AB=，

∴點B坐標為（4，0），

設y=ax（x﹣4），

將點P（1，）代入得：a=﹣，

∴y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；

（3）①當點Q在x軸上方時，由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱坐標為，

則有﹣x2+x =，

解得：x1=3，x2=1（不符合題意，舍去），

∴點Q的坐標為（3，）；

②當點Q在x軸下方時，由S△ABQ=S△ABP知點Q的縱坐標為﹣

則有﹣x2+x =﹣，

解得：x1=2+，x2=2﹣，

∴點Q的坐標為（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；

綜上，滿足條件的點Q有3個：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．