Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于E，DE=EC，過點B的切線與AD的延長線交于F，過E作EG⊥BC于G，延長GE交AD于H．

（1）求證：AH=HD；

（2）若AE:AD=，DF=9，求⊙O的半徑。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）10．

【解析】

試題分析：（1）由AB為⊙O的直徑，DE=EC，根據垂徑定理的推論，可證得AB⊥CD，又由EG⊥BC，易證得∠CDA=∠DEH，即可得HD=EH，繼而可證得AH=EH，則可證得結論；

（2）由AB為⊙O的直徑，可得∠BDF=90°，由BF是切線，可得∠DBF=∠C，然后由三角函數的性質，求得BD的長，繼而求得答案．

試題解析：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，DE=EC，

∴AB⊥CD，

∴∠C+∠CBE=90°，

∵EG⊥BC，

∴∠C+∠CEG=90°，

∴∠CBE=∠CEG，

∵∠CBE=∠CDA，∠CEG=∠DEH，

∴∠CDA=∠DEH，

∴HD=EH，

∵∠A+∠ADC=90°，∠AEH+∠DEH=90°，

∴AH=EH，

∴AH=HD；

（2）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDF=90°，

∵BF是⊙O的切線，

∴∠DBF=∠C，

∵cos∠C=，DF=9，

∴tan∠DBF=，

∴BD=

∵∠A=∠C，

∴sin∠A=，

∴AB=，

∴⊙O的半徑為10．

考點：1．切線的性質；2．垂徑定理；3．圓周角定理；4．相似三角形的判定與性質．