Question

如圖，在?ABCD中，AB=5，AD=15，sin∠ABC=

4

5

．點P從點B出發沿B→A→D以每秒2個單位長的速度向點D勻速運動；同時點Q從點C出發沿C→B以每秒3個單位長的速度向點B勻速運動，當點Q到達點B時，兩點P、Q停止運動．過點Q作QE⊥BC交DC的延長線于點E，分別連接BE、PQ．設P、Q的運動時間為t（秒）．
（1）當P在AD上運動時，t為何值時，PQ∥AB？
（2）在整過運動過程中，四邊形PBEQ能否為梯形？若能，求出此時t的值；若不能，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）設P點、Q點分別運動到如圖的位置時，PQ∥AB，則有AP=BQ，利用這兩條線段相等建立等量關系，就可以求出
PQ∥AB是t的值．
（2）利用三角函數值表示出BF的值，因為PQ∥BE，∴∠PQB=∠EBC所以這兩個角的正切值也相等建立等量關系，從而求出是梯形是t的值．

解答：解：（1）當P在AD上，PQ∥AB時，∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC
∴四邊形ABQP是平行四邊形
∴AP=BQ
∵AP=2t-5，BQ=15-3t
∴2t-5=15-3t
∴t=4

（2）作PF⊥BC于點F
∠PFB=∠PFC=90°
∵四邊形PBEQ是梯形
∴PQ∥BE，∠ABC=∠BCE
∴∠PQB=∠EBQ
∴tan∠PQB=tan∠EBQ
∴

PF

QF

=

QE

BQ

∵sin∠ABC=

4

5

∴sin∠BCE=

4

5

，

PF

PB

=

4

5

，

EQ

EC

=

4

5

，且PB=2t，CQ=3t
∴

PF

2t

=

4

5

即PF=

8

5

t
在Rt△BPF中，由勾股定理得：
BF=

6

5

t
在Rt△ECQ中，設EQ=4x，EC=5x，由勾股定理求得：
x=t，∴EQ=4t，
∴FQ=15-4t-

6

5

t，BQ=15-3t
∴

8 5 t

15-3t- 6 5 t

=

4t

15-3t

解得：t₁=0（不符合題意），t₂=3
∴t=3時，四邊形PBEQ為梯形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，梯形的性質，勾股定理、解直角三角形的運用．