Question

（本題8分）如圖，△ABC中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥DF，交AB于點E，連結EG、EF.

（1）求證：BG＝CF.

（2）請你判斷BE+CF與EF的大小關系，并說明理由.

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）BE+CF＞EF，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；

（2）由△BGD≌△CFD ，得到GD=FD，從而得出EG=EF，再利用兩邊和大于第三邊從而得出BE+CF＞EF．

試題解析：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．

∵D為BC的中點，∴BD=CD，

又∵∠BDG=∠CDF，

在△BGD與△CFD中，∵∠DBG=∠DCF，BD=CD，∠BDG=∠CDF，∴△BGD≌△CFD（ASA），∴BG=CF．

（2）BE+CF＞EF．理由如下：

∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．

又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分線到線段端點的距離相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

考點：全等三角形的判定與性質．