Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝45 °

，則有結論EF＝BE＋FD成立；

(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是B

CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(2)若將(1)中的條件改為：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結論EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)結論EF＝ BE＋FD成立．　　1分 　　延長EB到G，使BG＝DF，連接AG． 　　∵∠ABG＝∠D＝90°， 　　AB＝AD， 　　∴△ABG≌△ADF． 　　∴AG＝AF且∠1＝∠2． 　　∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD 　　∴∠GAE＝∠EAF． 　　又AE＝AE， 　　∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF． 　　即EF＝BE＋BG＝BE＋FD　　4分 　　(2)結論EF＝BE＋FD不成立， 　　應當是EF＝BE－FD　　5分 　　在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG． 　　∵∠B＋∠ADC＝180°， 　　∠ADF＋∠ADC＝180°， 　　∴∠B＝∠ADF． 　　∵AB＝AD， 　　∴△ABG≌△ADF． 　　∴AG＝AF． 　　∵∠1＝∠2， 　　∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD 　　∴∠GAE＝∠EAF． 　　∵AE＝AE， 　　∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF 　　即EF＝BE－BG＝BE－FD　　9分