Question

【題目】如圖1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8。點P在線段AB上以每秒2個單位的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由B點向點D運動。它們的運動時間為t(s).

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=2時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關系；

（2）如圖2，將圖1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變。設點Q的運動速度為每秒x個單位，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x,t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由見解析；（2）存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等，，

【解析】

（1）利用HL證得Rt△PAC≌Rt△QBP，得出∠APC=∠PQB，進一步得出∠PQB+∠QPB=∠APC+∠QPB=90°，得出結論即可；

（2）由△ACP≌△BQP，分兩種情況：①AC=BQ，AP=BP，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

（1）解：△ACP與△BPQ全等，PC⊥PQ，理由如下：

當t=2時，AP=BQ=2×2=4，BP=AB-AP=12-4=8=AC，

∵ AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠PAB=∠PBQ=90°，

在Rt△PAC和Rt△QBP中， ，

∴Rt△PAC≌Rt△QBP，

∴∠APC=∠PQB，

∵∠PQB+∠QPB=90°，

∴∠APC+∠QPB=90°，

即PC⊥PQ.

（2）解：存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等，理由如下：

若△ACP≌△BQP，則AC=BQ，AP=BP，

即,解得；

若△ACP≌△BPQ，則AC=BP，AP=BO，

即,解得.