Question

關于x的方程x²－2（k－1）x＋k² = 0的兩實根x₁、x₂滿足x₁x₂－1.點A為直線y =" x" 上一點，過A作AC⊥x軸交x軸于C，交雙曲線于B，求OB²－AB²的值。

Answer 1

k = －3， OB²－ AB² ="-" 6 .

試題分析： ∵方程x²－2（k－1）x＋k² = 0的兩實根x₁、x₂   ，
∴x₁+x₂ =2（k－1 ）,     x₁x₂= k² 
∴x₁x₂－1
∴ == k² -1
∴ k="1" 或 k=-3
又 =b² – 4 a c =4（k－1）² - 4 k² 0 即 k 2
∴ k=-3
∴關于x的方程 x²+8x+9=0
∴交雙曲線y= 
根據題意畫出圖象：

∵點A為直線y=x上一點，∴AC=CO，
∵OB²=OC²+BC²，AB²=（AC+BC） ²=OC²+BC²+2 OC•BC，
∴OB²-AB²=OC²+BC²-（OC²+BC²+2OC•BC）=-2 =-2k=-6．
點評：本題主要考查了一元二次方程根與系數關系的應用以及一次函數與反比例函數的綜合應用，關鍵是列出關于k的方程以及利用勾股定理得出OB²-AB²=-2OC•BC．