Question

已知等邊△ABC，邊長為4，點D從點A出發，沿AB運動到點B，到點B停止運動．點E從A出發，沿AC的方向在直線AC上運動．點D的速度為每秒1個單位，點E的速度為每秒2個單位，它們同時出發，同時停止．以點E為圓心，DE長為半徑作圓．設E點的運動時間為t秒．

(l)如圖l，判斷⊙E與AB的位置關系，并證明你的結論；
(2)如圖2，當⊙E與BC切于點F時，求t的值；
(3)以點C為圓心，CE長為半徑作⊙C，OC與射線AC交于點G．當⊙C與⊙E相切時，直接寫出t的值為____

Answer 1

（1）AB與⊙E相切；（2）1；（3），

試題分析：（1）過點D作DM⊥AC于點M，先根據等邊三角形的性質得到∠A=60°，在Rt△ADM中即可表示出AM、DM的長，由AE=2t可得ME=t，在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t，在Rt△ADE中，可得AD+DE=AE，即可得到∠ADE=90°，從而證得結論；
（2）連BE、EF，根據切線的性質可得BE平分∠ABC，由AB=BC可得AE=CE，即可求得結果；
（3）當⊙C與⊙E相切時，DE=EG=2EC，分點E在線段AC上與點E在AC的延長線上兩種情況分析即可.
（1）過點D作DM⊥AC于點M

∵△ABC為等邊三角形
∴∠A=60°  
在Rt△ADM中，AD=t，∠A=60°
∴AM=t，DM=t
∵AE=2t
∴ME=t
在Rt△DME中，DE=AM+EM=3t
在Rt△ADE中，AD=t，AE=4t，DE=3t
∴AD+DE=AE 
∴∠ADE=90°
∴AD與⊙D相切；
（2）連BE、EF，

∵BD、BE與⊙O相切
∴BE平分∠ABC
∵AB=BC
∴AE=CE 
∵AC=4 
∴AE=2，t=1；
（3）當⊙C與⊙E相切時，DE=EG=2EC
∵DE=t，
∴EC=t，
有兩種情形：
第一，當E在線段AC上時，AC=AE+EC，2t+t=4，t=
第二、當點E在AC的延長線上時，AC=AE-EC，2t-t=4，t=.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握切線垂直于經過切點的半徑；兩圓內切時，圓心距等于兩圓半徑之差，兩圓外切時，圓心距等于兩圓半徑之和.