Question

【題目】如圖，已知直線y=x與雙曲線y=（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為4，

（1）求 k的值；

（2）利用圖形直接寫出不等式x＞的解；

（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點 A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為 24，求點 P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）﹣4＜x＜0和x＞4．（3）點P的坐標為（8，1）或（2，4）．

【解析】（1）因為點A在直線y=x上，故將其橫坐標代入直線的解析式，求出對應的y的值，即可求得點A的坐標，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值；

（2）根據兩函數圖象的上下位置關系即可得出不等式的解集；

（3）作AM⊥x軸于點M，PN⊥x軸于點N．設P點的坐標為（a，8a），根據正比例函數與反比例函數的對稱性即可得出四邊形APBQ為平行四邊形，結合四邊形面積為24以及三角形的面積公式即可得出關于a的一元二次方程，解方程即可得出a值，將其代入點P的坐標中即可得出結論．

（1）∵直線y=x與雙曲線y=（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為 4，

∴×4=2，即：A點的坐標為（4，2），

∴k=4×2=8， 即：k的值為 8．

（2）∵點 A與點 B關于原點 O對稱，

∴點B的坐標為（﹣4，﹣2），

又∵不等式x＞的解，是函數圖象上直線位于雙曲線上方的部分對應的x的取值，

∴由圖象可知：不等式 x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．

（3）作AM⊥x軸于點M，PN⊥x軸于點N．設P點的坐標為（a，）．

∵P、Q 關于 O 點對稱，A、B 關于 O 點對稱，

∴四邊形 APBQ 為平行四邊形，

∴4S△OAP=24

∴S△OAP=6．

①當點 P 在直線 AB 的下方時，如圖 1 所示，

S△OAP=×4×2+（+2）（a﹣4）﹣a=6，

∴a2﹣6a﹣16=0，

解得：a1=﹣2，a2=8，

∴此時點P的坐標為（8，1）；

②當點 P 在直線 AB 的上方時，如圖 2 所示，

S△OAP=a+（+2）（4﹣a）﹣×4×2=6，

∴a2+6a﹣16=0，

解得：a1=2，a2=﹣8，

∴此時點P的坐標為（2，4）．

綜上所述：點P的坐標為（8，1）或（2，4）．