Question

【題目】已知：直線l1與直線l2平行，且它們之間的距離為2，A、B是直線l1上的兩個定點，C、D是直線l2上的兩個動點（點C在點D的左側），AB=CD=5，連接AC、BD、BC，將△ABC沿BC折疊得到△A1BC．

（1）求四邊形ABDC的面積．

（2）當A1與D重合時，四邊形ABDC是什么特殊四邊形，為什么？

（3）當A1與D不重合時：①連接A1、D，求證：A1D∥BC；②若以A1，B，C，D為頂點的四邊形為矩形，且矩形的邊長分別為a，b，求（a+b）2的值．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）四邊形ABDC是菱形；（3）①證明見解析；②45或49．

【解析】（1）根據平行四邊形的判定方法可得到四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據平行四邊形的面積公式計算；
（2）根據折疊的性質得到AC=CD，然后根據菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；
（3）①連結A1D，根據折疊性質和平行四邊形的性質得到CA1=CA=BD，AB=CD=A1B，∠1=∠CBA=∠2，可證明△A1CD≌△A1BD，則∠3=∠4，然后利用三角形內角和定理得到得到∠1=∠4，則根據平行線的判定得到A1D∥BC；
②討論：當∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S△A1CB=S△ABC=5，則S矩形A1CBD=10，即ab=10，由BA1=BA=5，根據勾股定理得到a2+b2=25，然后根據完全平方公式進行計算；
當∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，所以（a+b）2=（2+5）2．

解（1）∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABDC的面積=2×5=10；
（2）∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∵A1與D重合時，
∴AC=CD，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴四邊形ABDC是菱形；
（3）①連結A1D，如圖所示，

∵△ABC沿BC折疊得到△A1BC，
∴CA1=CA=BD，AB=CD=A1B，
在△A1CD和△A1BD中
CA1=BD，CD=BA1，A1D=A1D，
∴△A1CD≌△A1BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A1D∥BC；
②當∠CBD=90°，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴∠BCA=90°，
∴S△A1CB=S△ABC=×2×5=5，
∴S矩形A1CBD=10，即ab=10，
而BA1=BA=5，
∴a2+b2=25，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=45；
當∠BCD=90°時，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）2=（2+5）2=49，
∴（a+b）2的值為45或49．

“點睛”本題考查了四邊形綜合題：熟練掌握平四邊形的判定與性質以及特殊平行四邊形的判定與性質；會運用折疊的性質確定相等的線段和角．