Question

（2008•寧德）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，點D在AC上，CD=3厘米．點P、Q分別由A、C兩點同時出發，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程用時8秒；點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米．設運動的時間為x秒（0＜x＜8），△DCQ的面積為y₁平方厘米，△PCQ的面積為y₂平方厘米．
（1）求y₁與x的函數關系，并在圖2中畫出y₁的圖象；
（2）如圖2，y₂的圖象是拋物線的一部分，其頂點坐標是（4，12），求點P的速度及AC的長；
（3）在圖2中，點G是x軸正半軸上一點0＜OG＜6，過G作EF垂直于x軸，分別交y₁、y₂的圖象于點E、F．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；
②當0＜x＜6時，求線段EF長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了CD=3，根據Q點的速度可以用時間x表示出CQ的長，可根據三角形的面積計算公式得出y₁，x的函數關系式；
（2）可先求出y₂的函數式，然后根據其頂點坐標來確定k的取值．已知了P點走完AC用時8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根據三角形的面積公式列出關于y₂，x的函數關系式，進而可根據頂點坐標求出k的值；
（3）EF其實就是y₂-y₁，也就是三角形PCQ和CDQ的面積差即三角形PDQ的面積．得出EF的函數關系式后，根據自變量的取值以及函數的性質即可求出EF的最大值．
解答：解：（1）∵S_△DCQ=•CQ•CD，CD=3，CQ=x，
∴y₁=x（0＜x＜8）．圖象如圖所示；


（2）S_△PCQ=•CQ•CP，CP=8k-xk，CQ=x，
∴y₂=×（8k-kx）•x=-kx²+4kx．
∵拋物線頂點坐標是（4，12），
∴-k•4²+4k•4=12．
解得k=．
則點P的速度每秒厘米，AC=12厘米；

（3）①觀察圖象，知線段的長EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ面積）．
②由（2）得y₂=-x²+6x．
∴EF=-x²+6x-x=-x²+x=-（x²-6x+9）+=-（x-3）²+，
∵二次項系數小于0，
∴在0＜x＜6范圍，
當x=3時，EF=最大．
點評：本題是一道涉及二次函數、一次函數、三角形的有關知識且包含動點問題的綜合題．