Question

【題目】如圖，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線 經過B，C兩點，點A是拋物線與x軸的另一個交點.

（1）求出點B和點C的坐標.

（2）求此拋物線的函數解析式.

（3）在拋物線x軸上方存在一點P（不與點C重合），使，請求出點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）B(3，0), C(0，3) （2）（3）P(2,3)

【解析】（1）已知了過B、C兩點的直線的解析式，當x=0時可求出C點的坐標，當y=0是可求出B點的坐標．
（2）由于拋物線的解析式中只有兩個待定系數，因此將B、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式．
（3）根據（2）的拋物線的解析式可得出A點的坐標，由此可求出AB的長，由于S△PAB=S△CAB，而AB邊為定值．由此可求出P點的縱坐標，然后將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標．

解：（1）因為B,C分別在x軸和y軸上，令x=0，則y=3，令y=0，則x=3，

故C（0，3）、B（3，0）

（2）把B、C兩點坐標代入拋物線y=-x2+bx+c得c=3，-9+3b+3=0，

解出:c=3，b=2，

故拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

(3) 因為點A在拋物線上，又在x軸負半軸，所以求得點A坐標（-1,0）

所以AB=4

得出

此時P點的縱坐標須為3或-3

P點在拋物線上，則：3=-x2+2x+3或-3=-x2+2x+3，

由3=-x2+2x+3解得x=0（此時不存在三角形，舍去）或x=2，此時，P坐標為P1(2，3)

由-3=-x2+2x+3解得x=或x=，此時P坐標為P2(，-3) ，P3（，-3）

綜上所述，存在點P，使，坐標分別為P1(2，3)， P2(，-3) ，P3（，-3）

“點睛”難度系數較大，中考常見題目，考查一次函數及二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數解析式的確定以及圖形面積的求法，注意點P存在不同情況，須要考生分類討論．