Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD相交于點O，把梯形分成四部分，記這四部分的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，則下列判斷S₁+S₂和S₃+S₄的大小關系正確的是（　　）

• A、S₁+S₂＞S₃+S₄
• B、S₁+S₂＜S₃+S₄
• C、S₁+S₂=S₃+S₄
• D、無法判斷

Answer 1

分析：設AD=m，BC=n，根據同底等高判斷△ABC和△DBC的面積相等，然后根據三角形的相似比，把s₂，s₃，s₄都用s₁以及m，n表示出來，然后用（S₁+S₂）-（S₃+S₄）化簡結果后看誰大誰小．

解答：解：設AD=m，BC=n，
∵△ABC和△DBC同底等高，
∴S_△ABC=S_△DBC，
∴S₃+S₂=S₄+S₂，即：S₃=S₄，
∵△AOD∽△COB，
∴S₁：S₂=（OD：OB）²=m²：n²，
∴S2=

n2

m2

•S1，
∵S₁：S₃=OD：OB=m：n，
∴S3=

n

m

•S1，
∴(S1+S2)-(S3+S4)=S1+

n2

m2

•S1-2•

n

m

•S1=S1(1+

n2

m2

-2•

n

m

)=S1(1-

n

m

)2，
∵(1-

n

m

)2＞0，
∴S₁+S₂＞S₃+S₄．
故選A．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質以及三角形面積的等底等高或者等高等情況的特性，本題最后做一個差的運算來判斷大小，難度適中．