Question

請嘗試解決以下問題：
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點G，B，F(xiàn)在同一條直線上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠

FAE

．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌

△EAF

．
∴

GF

=EF，故DE+BF=EF．
（2）運用（1）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一點，且∠BAE=45°，DE=4，求BE的長．
（3）類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），在旋轉(zhuǎn)過程中，等式BD²+CE²=DE²始終成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用角之間的等量代換得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）過A作AG⊥BC，交BC延長線于G，由正方形的性質(zhì)得出CG=AD=10，再運用勾股定理和方程求出BE的長；
（3）運用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和勾股定理判斷說明等式成立．

解答：解：（1）根據(jù)等量代換得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案為：FAE；△EAF；GF；   
                                          
（2）過A作AG⊥BC，交CB延長線于G．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴∠C=∠D=90°，
又∠CGA=90°，AD=CD，
∴四邊形AGCD為正方形．                                              
∴CG=AD=10．
已知∠BAE=45°，
根據(jù)（1）可知，BE=GB+DE．
設(shè)BE=x，則BG=x-4，
∴BC=14-x．
在Rt△BCE中，∵BE²=BC²+CE²，即x²=（14-x）²+6²．          
解這個方程，得：x=

58

7

．
∴BE=

58

7

；

（3）證明：如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABH的位置，
則CE=HB，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE，
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²，
即BD²+CE²=DE²…（11分）

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及折疊的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出與已知相等的角，利用三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．