Question

某商場要經營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發現：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件
（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數關系式；
（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；
（3）商場的營銷部結合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案
方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；
方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由

Answer 1

解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x²＋700x－10000。
（2）∵w＝－10x²＋700x－10000＝－10（x－35）²＋2250
∴當x＝35時，w有最大值2250，
即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大。
（3）甲方案利潤高。理由如下：
甲方案中：20＜x≤30，函數w＝－10（x－35）²＋2250隨x的增大而增大，
∴當x=30時，w有最大值，此時，最大值為2000元。
乙方案中：，解得x的取值范圍為：45≤x≤49。
∵45≤x≤49時，函數w＝－10（x－35）²＋2250隨x的增大而減小，
∴當x=45時，w有最大值，此時，最大值為1250元。
∵2000＞1250，∴甲方案利潤更高

解析試題分析：（1）根據利潤=（單價-進價）×銷售量，列出函數關系式即可。
（2）根據（1）式列出的函數關系式，運用配方法求最大值。
（3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較。