Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA=，求△ACF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）同弧所對的圓周角相等，可證明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．
解答：（1）證明：連接BO，（1分）
方法一：∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB（2分）
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線；（3分）
方法二：∵AB=AO，BO=AO
∴AB=AO=BO
∴△ABO為等邊三角形
∴∠BAO=∠ABO=60°
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°
∴∠ABD=30°（2分）
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線；
方法三：∵AB=AD=AO
∴點O、B、D在以OD為直徑的⊙A上
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直徑
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA=
∴
又∵S_△BEF=8
∴S_△ACF=18．
點評：本題綜合考查了圓的切線的性質、圓的性質、相似三角形的判定及性質等內容，是一個綜合較強的題目，難度較大．