Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中點，E，F分別是AC，BC.上的點(點E不與端點A，C重合)，且連接EF并取EF的中點O，連接DO并延長至點G，使，連接DE，DF，GE，GF

(1)求證:四邊形EDFG是正方形;

(2)直接寫出當點E在什么位置時，四邊形EDFG的面積最小?最小值是多少?

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4

【解析】

（1）連接CD，根據等腰直角三角形的性質可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據全等三角形的性質可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過角的計算可得出∠EDF=90°，再根據O為EF的中點、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；

（2）過點D作DE′⊥AC于E′，根據等腰直角三角形的性質可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2，再根據正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

(1)證明:連接CD，如圖1所示.

∵為等腰直角三角形，，

D是AB的中點，

∴

在和中，

∴ ，

∴,

∵，

∴，

∴為等腰直角三角形.

∵O為EF的中點，，

∴，且，

∴四邊形EDFG是正方形;

(2)解:過點D作于E′，如圖2所示.

∵為等腰直角三角形，，

∴，點E′為AC的中點，

∴ (點E與點E′重合時取等號).

∴

∴當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4