Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA=2，0C=6，在OC上取點D將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，將一個足夠大的直角三角板的頂點P從D點出發沿線段DA→AB移動，且一直角邊始終經過點D，另一直角邊所在直線與直線DE，BC分別交于點M，N．
（1）填空：D點坐標是（______，______），E點坐標是（______，______）；
（2）如圖1，當點P在線段DA上移動時，是否存在這樣的點M，使△CMN為等腰三角形？若存在，請求出M點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，當點P在線段AB上移動時，設P點坐標為（x，2），記△DBN的面積為S，請直接寫出S與x之間的函數關系式，并求出S隨x增大而減小時所對應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

（1）∵將△AOD沿AD翻折，使O點落在AB邊上的E點處，
∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
∴OA=OD，
∵OA=2，
∴OD=2，
∴D點坐標是（2，0），DE=OD=2，
∴E點坐標是（2，2），
故答案為：（2，0），（2，2）；

（2）存在點M使△CMN為等腰三角形，理由如下：
由翻折可知四邊形AODE為正方形，
過M作MH⊥BC于H，
∵∠PDM=∠PMD=45°，則∠NMH=∠MNH=45°，
NH=MH=4，MN=4

2

，
∵直線OE的解析式為：y=x，依題意得MN∥OE，
∴設MN的解析式為y=x+b，
而DE的解析式為x=2，BC的解析式為x=6，
∴M（2，2+b），N（6，6+b），
CM=

42+(2+b)2

，CN=6+b，MN=4

2

，
分三種情況討論：
①當CM=CN時，
4²+（2+b）²=（6+b）²，
解得：b=-2，此時M（2，0）；
②當CM=MN時，
4²+（2+b）²=（4

2

）²，
解得：b₁=2，b₂=-6（不合題意舍去），
此時M（2，4）；
③當CN=MN時，
6+b=4

2

，
解得：b=4

2

-6，此時M（2，4

2

-4）；
綜上所述，存在點M使△CMN為等腰三角形，M點的坐標為：
（2，0），（2，4），（2，4

2

-4）；

（3）根據題意得：
當0≤x≤2時，
∵∠BPN+∠DPE=90°，
∠BPN+∠BNP=90°，
∴∠DPE=∠BNP，
又∠PED=∠NBP=90°，
∴△DEP∽△PBN，
∴

PB

DE

=

BN

EP

，
∴

6-x

2

=

BN

2-x

，
∴BN=

(2-x)(6-x)

2

，
∴S_△DBN=

1

2

•BN•BE
=

1

2

•

(2-x)(6-x)

2

•4
整理得：S=x²-8x+12；
當2＜x≤6時，
∵△PBN∽△DEP，
∴

PB

NB

=

DE

PB

，
∴

x-2

NB

=

2

6-x

，
∴BN=

(x-2)(6-x)

2

，
∴S_△DBN=

1

2

•BN•BE，
=

1

2

•

(x-2)(6-x)

2

×4，
整理得：S=-x²+8x-12；
則S與x之間的函數關系式：

S=x2-8x+12(0≤x≤2) S=-x2+8x-12(2＜x≤6)

，
①當0≤x≤2時，S=x²-8x+12=（x-4）²-4，
當x≤4時，S隨x的增大而減小，即0≤x≤2，
②當2＜x≤6時，S=-x²+8x-12=-（x-4）²+4，
當x≥4時，S隨x的增大而減小，即4≤x≤6，
綜上所述：S隨x增大而減小時，0≤x≤2或4≤x≤6．