Question

【題目】如圖，過正方形ABCD頂點B，C的⊙O與AD相切于點P，與AB，CD分別相交于點E、F，連接EF．

（1）求證：PF平分∠BFD．
（2）若tan∠FBC= ，DF= ，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OP，BF，PF，

∵⊙O與AD相切于點P，

∴OP⊥AD，

∵四邊形ABCD的正方形，

∴CD⊥AD，

∴OP∥CD，

∴∠PFD=∠OPF，

∵OP=OF，

∴∠OPF=∠OFP，

∴∠OFP=∠PFD，

∴PF平分∠BFD；

（2）

解：連接EF，

∵∠C=90°，

∴BF是⊙O的直徑，

∴∠BEF=90°，

∴四邊形BCFE是矩形，

∴EF=BC，

∵AB∥OP∥CD，BO=FO，

∴OP= AD= CD，

∵PD2=DFCD，即（ ）2= CD，

∴CD=4 ，

∴EF=BC=4

【解析】（1）根據切線的性質得到OP⊥AD，由四邊形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OP∥CD，根據平行線的性質得到∠PFD=∠OPF，由等腰三角形的性質得到∠OPF=∠OFP，根據角平分線的定義即可得到結論；（2）由∠C=90°，得到BF是⊙O的直徑，根據圓周角定理得到∠BEF=90°，推出四邊形BCFE是矩形，根據矩形的性質得到EF=BC，根據切割線定理得到PD2=DFCD，于是得到結論．本題考查了切線的性質，正方形的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，平行線的性質，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．