Question

對(duì)于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若b=2

ac

，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則方程x²-bx+ac=0也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1=0成立；
④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，則b²-4ac=（2ax₀+b）²，其中正確的（　　）

• A、只有①②③
• B、只有①②④
• C、①②③④
• D、只有③④

Answer 1

分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號(hào)就可以了．④難度較大，用到了求根公式表示x₀．

解答：解：①若b=2

ac

，方程兩邊平方得b²=4ac，即b²-4ac=0，所以方程ax²+bx+c=0一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則b²-4ac＞0
方程x²-bx+ac=0中根的判別式也是b²-4ac=0，所以也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，則一定有ac²+bc+c=0成立，
當(dāng)c≠0時(shí)ac+b+1=0成立；當(dāng)c=0時(shí)ac+b+1=0不成立；
④若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x₀=

-b± b2-4ac

2a

，
把x₀的值代入（2ax₀+b）²，可得b²-4ac=（2ax₀+b）²，
綜上所述其中正確的①②④．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根的判別式及其應(yīng)用．尤其是④難度較大，用到了求根公式表示x₀，整體代入求b²-4ac=（2ax₀+b）²．
總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．